FİKİR DÜNYASI

 

B Ö L Ü M    VI

 

K A N T İ T A T İ F   G E N E T İ K   T E O R İ S İ

 

 

            VI.1- Giriş: Sürekli Varyasyon

 

            Kantitatif karakterler bakımından varyasyon, süreklidir. Bu süreklilik, bir taraftan söz konusu özelliği determine eden çok sayıda küçük etkili genler, diğer taraftan da aynı genotipten bireylerin farklı fenotiplerde olmasına yol açan çevre etkileri yüzünden ortaya çıkar.

            Önceki bölümlerde populasyonun bir veya iki lokus bakımından genetik kompozisyonu üzerinde duruldu. Oysa fitness değeri, ağırlık, boy gibi kantitatif karakterler bakımından varyasyona sebep olan genler birçok lokusa dağılmışlardır. Gerçi, kantitatif bir özellik bakımından büyük fenotipik farklılıklara yol açan genlerin, yani büyük etkili genlerin varlığı bilinmektedir. Bitkilerde bodurluk geni, memelilerde cücelik geni, koyunlarda bir batında yavru sayısını artıran Boroola geni gibi, bazı karakterleri determine eden büyük etkili genler varsa da, sırıkların kendi aralarında, bodurların da kendi aralarında gösterdiği varyasyona yol açan küçük etkili (modifiye edici) genler birçok lokusa dağılmışlardır. İster büyük, ister küçük etkili olsun, bu genler de diğerleri gibi, gametler vasıtası ile ebeveynden döle geçerler ve Mendel’in açılma kuralları bunlar için de geçerlidir. Ne var ki, fenotipler arası varyasyon, hangi fenotipin hangi genotipte olduğunu döllerdeki açılma oranlarına bakarak belirlemeye elverişli değildir. O halde bu varyasyonu açıklamak için, Mendel’in genetik analiz metodları yerine ikame edilmesi gereken başka metotlara gerek vardır.

Kantitatif karakterlerin kalıtımının Mendel kuralları ile açıklanıp açıklanamayacağı aslında 20. Asrın başlarından itibaren tartışma konusu oldu. Kantitatif Genetik, Genetik içinde ayrı bir disiplin haline gelinceye kadar süren bu tartışmaları Düzgüneş ve Ekingen (1983) şöyle özetlemektedir:

“İngiltere’de Galton ve Pearson, Mendel Kanunlarının yeniden keşfinden önce insanlarda, köpeklerde ve hatta bezelyelerde devamlı varyasyon gösteren karakterler bakımından ebeveynle yavrular arasındaki benzerlik derecelerini korelasyon katsayıları ile hesaplamışlar ve ebeveynden döllere geçişin bu derecelerde olduğunu ileri sürmüşlerdir. Böylece kurulan Biyometri Ekolünün mensupları bu görüşü Mendel Kanunlarının yeniden bulunuşundan sonra da devam ettirmişler ve işi Mendel Kanunlarının devamlı varyasyon gösteren karakterlerde uygulanmadığını iddia edecek kadar ileri götürmüşlerdir.

“Bunlara karşılık De Vries, Mendel Kanunlarının üniversel olduklarını, Bunlar kantitatif karakterlere tatbik edilemiyorsa, bunun bu tip karakterler bakımından farklılığın kalıtsal olmadığına delâlet edeceğini söylemişlerdir. Böylece Biyometri Ekolüne karşılık bir Mendel Ekolü kurulmuştur.

“Her iki ekol de meseleyi, tek taraflı düşündüklerinden, çözümleyememişlerdir. Hâlbuki Danimarkalı Joahannsen ve İsveçli Nilson-Ehle’nin 20. Yüzyılın başlarında yaptıkları deneylerden ve bunları izleyen diğer araştırmalardan anlaşılmıştır ki:

a)    Her karakter bakımından müşahede edilen varyasyonda hem kalıtsal olan hem de kalıtsal olmayan kısım vardır.

b)    Mendel Kanunları üniverseldir, gerek kesikli ve gerek devamlı varyasyon gösteren bütün karakterlere hâkimdir. Ancak bu iki karaktere ait varyasyonları araştırma usulleri başkadır.”

Johannsen ve Nilson-Ehle’nin deneyleri gerçekten konuya açıklık getirmiştir. Johannsen yaptığı çalışmada farklı fasulye hatlarından farklı ağırlıktaki daneleri almış, bir hatta mensup danelerin ekilmesinden elde ettiği bitkilerden topladığı daneler hat ortalamasına yakın değerlerde olmuştur. Meselâ A hattından aldığı 30 mg ağırlığında bir fasulyeyi ekmiş çıkan danelerin ortalamasını 57 mg bulmuş, aynı hattan 70 mg gelen bir daneden elde ettiği danelerin ortalaması ise 55 mg çıkmıştır. B hattından aldığı 20 mg ağırlığındaki bir daneden çıkan bitkilerden aldığı daneleri tartmış ortalama 46 mg bulmuştur. Yine B hattından aldığı 60 mg ağırlığındaki danenin ekilmesinden elde ettiği danelerin ağırlık ortalamasını ise 48 mg bulmuştur. Bu denemenin sonuçlarına göre, aynı hattan fasulyeler arasındaki ağırlık farkı döllere geçmemektedir. Ancak A hattı ile B hattı arasındaki fark döllerinde de ortaya çıkmaktadır. Nitekim A hattından aldığı 30 mg ağırlığındaki fasulye ile B hattından aldığı 60 mg ağırlığındaki fasulye arasında 30 mg fark vardır. Bunların döllerinin ortalamaları arasındaki fark 48-57=-9 mg kadardır. Halbuki A hattından 70 mg fasulyeden çıkan danelerin ortalaması ile 30 mg fasulyeden çıkan danelerin ortalaması arasındaki fark, 55-57=-2 mg kadardır. Buna göre Johannsen, fasulye daneleri arasındaki farkın bir kısmının kalıtsal olduğunu, yani farklı hatların genotipleri arasındaki farktan ileri geldiğini, bir kısmının ise kalıtsal olmayan sebeplerden ileri geldiğini ortaya koyan, bildiğimiz kadarıyla, ilk araştırmaları yapmıştır.

Johannsen’in ele aldığı hatların genotipleri arasındaki fark, kesikli değil süreklidir. Bunun sebebi ne olabilir? Hermann Nilson-Ehle’nin çalışmaları da bu soruya cevap vermiştir. Çok sayıda lokusa dağılmış küçük etkili (modifiye edici) genlerin, hatlar arasındaki farklılığı meydana getirdiği Nilson-Ehle’nin çalışmalarından sonra geliştirilmiş bir görüştür. Söz konusu çalışmada Nilson-Ehle esmer ve beyaz buğday hattını melezlemiş, F₁’ler esmer  hatla beyaz hat arasında pembe fenotipte olmuş, ancak F₂’de esmer hattın fenotipi ile beyaz hattın fenotipi arasında çeşitli fenotipler (aslında beyaz ve esmer yanında üç ayru koyulukta fenotip, yani toplam beş fenorip) ortaya çıkmıştır. Yapılan çalışmalarda buğdayda dane rengini belirleyen genlerin iki lokusa dağıldığı, her lokusta esmer oluş geninin varlığının renge bir katkı sağladığı bulunmuştur.

     Kantitatif karakterler bakımından varyasyon, süreklidir. Bu süreklilik, bir taraftan söz konusu özelliği determine eden çok sayıda küçük etkili genler, diğer taraftan da aynı genotipten bireylerin farklı fenotiplerde olmasına yol açan çevre etkileri yüzünden ortaya çıkar. Demek ki, kantitatif bir karakter bakımından fenotipler arası farklılığın bir sebebi, çok sayıda genotipin mevcudiyetidir. Böyle bir karakteri determine eden lokusların birinde iki allel varsa, diploid bir organizma için o lokusta mümkün olan genotiplerin sayısı üçtür. Böyle n lokus için mümkün olan genotiplerin sayısı 3ⁿ’dir. Eğer bir lokusta ikiden fazla allel varsa, o zaman mümkün olan genotiplerin sayısı daha da artar. Meselâ bir lokusta üç allel varsa, o lokusta mümkün olan genotiplerin sayısı

 

C(3,2)+3=C(3+2-1,2)=C(4,2)=6

olup, buna göre i.sinde m_i kadar allel olan k lokus için mümkün olan genotiplerin sayısı

(VI.1)                   

kadardır. Bu sayı, belki de, gerçek bir populasyondaki bireylerin sayısından daha fazladır. Ancak fenotipik varyasyondaki süreklilik, bu fazlalıkla açıklanabilecek olandan da daha fazladır. Çünkü, söz konusu kantitatif karakteri determine eden lokus ve allel sayısı ne kadar çok olursa olsun, sayılamayacak kadar çok değildir; oysa kantitatif bir karakter bakımından mümkün olan fenotipler, sayılamayacak kadar çoktur. Bu çokluk, demeli süreklilik, ancak çevre şartlarının, genotipik varyasyonu bir anlamda tesviye eden etkisi ile açıklanabilir.

            Kantitatif karakterler bakımından fenotipler ölçülerek belirlenir: boy, alan, ağırlık, hacim, nisbi kuru madde, ham protein oranı, vb. Populasyon böyle karakterler bakımından, ortalama, varyans, korelasyon katsayısı, vb. istatistik parametrelerle tanımlanır.

            Kantitatif bir karakter bakımından fenotipik varyasyonun ne kadarı genotipler arası farklılıktan kaynaklanmıştır ve bu genetik varyasyonun ne kadarı hangi genetik etkiler yüzünden ortaya çıkmıştır? Böyle bir soruyu cevaplayabilmek için, genotipin fenotip üzerindeki etkisini sayısal olarak ifade etmek gerekir. Böylece soruyu, istatistik parametrelerin tanımı ve tahminleri cinsinden cevaplamak mümkün olsun.

            Bu bölümde, genotipin fenotip üzerindeki farazi etkisini, sayısal bir ıskalada göstereceğiz. Böylece populasyon ortalaması, ortalama gen etkisi, eklemeli genetik varyans gibi parametrelerin tanımlarını ve kantitatif genetik anlamlarını ortaya koyma imkânı bulacağız. Böylece, fenotip üzerine genotipin etkisini unsurlarına ayırmış olacağız. Ancak bu unsurların gerçek hayatta ölçülmesi mümkün değildir. Burada yapılacak tanımlamalar, daha ileride istatistik analiz metodlarıyla tahmin etmeye çalışacağımız fenotipik varyans unsurlarının genetik olarak ne anlama geldiklerini vermek içindir. Bir başka ifade ile neyi tahmin ettiğimizi ancak böyle bir modelle anlayabiliyoruz. Kantitatif bir karakterin kalıtımını çalıştığımız bu modelle istatistik analiz metodlarını ve Mendel’in genetik analiz metodunu bir arada uygulamış oluyoruz.

 

VI.1- Fenotipik Varyans ve Unsurları, Kalıtım derecesi

B₁/B₁ genotipindeki j. bireyin fenotipik değeri F_1j, B₁/B₂ genotipindeki i. bireyinki F_2i ve B₂/ B₂ genotipindeki k. bireyinki de F_3k olsun. Buna göre i. genotipten j. bireyin fenotipik değeri,

(VI.2)              

olarak gösterilebilir. Burada g_i, i. genotipin (ki burada i, B₁/B₁, B₁/B₂ veya B₂/ B₂ olabilir) etkisini, e_ij, i. genotipteki bütün bireylerin fenotipik değerlerinin ortalamasından j. bireyin fenotipini farklı yapan çevre etkisini gösterir. μ ise, populasyonun tamamının fenotipik ortalamasıdır. e_ij’lerin bütün genotipler için, ortalaması sıfır, varyansı σ_e² olan özdeş bir normal dağılım gösterdikleri kabul edilir. Buna göre i. genotipteki bireylerin ortalama fenotipik değeri

(VI.3)                

şeklinde tanımlanır ve genotipik değer olarak isimlendirilir.

Tekrar edersek, bir populasyonda, kantitatif bir karakter bakımından gözlenen fenotipik varyasyon, populasyon üyelerinin farklı genotipte olmasından ve farklı çevre şartlarına maruz kalmasından ortaya çıkar; yani fenotipik varyasyon, gerek genotipler arasındaki ve gerekse çevre şartları arasındaki farklılıktan kaynaklanır.

Fenotipik varyasyonun çevre şartlarından ileri gelen kısmını, yani eşitlik: VI.2’deki e_ij’ler arası farklılığın ölçüsü olan varyansı tahmin etmenin çeşitli yolları vardır. Bu çevre etkisinin, ortalaması sıfır ve varyansı σ_e² olan normal bir dağılım gösterdiği kabul edilir. VI.2 numaralı eşitlikte, çevre şartlarının genotipik etkiyle bir interaksiyonu olmadığı varsayılmıştır. Genotiplerle çevre arasında bir korelasyon da olmadığı durumlarda, Eş. VI.2’den fenotipik varyansın,

(VI.4)  

olarak yazılabileceği açıktır. Nitekim gerek bitki ve hayvan ıslahı çalışmalarında, gerekse kantitatif genetikle ilgili denemelerde, ortam mümkün olduğu kadar homojen tutulmaya çalışılır, yani çevre varyansı mümkün olduğunca küçük tutulmaya çalışılır. Bir yandan da, ortamda mevcut varyasyonun her genotipe aynı derecede yansımasına çalışılır. Böylece genotiple çevre arasında bir korelasyon olmamasına özen gösterilir.

            Biraz sonra, Eş.(VI.4)’ün sağındaki birinci terimi, yani genetik varyansı tanımlamaya, anlamaya çalışacağız. Ancak gerçek denemelerde araştırıcının hesaplayabileceği varyans Eş.(VI.4)’ün solundaki terim, yani fenotipik varyanstır. Çünkü populasyondaki her bireyin sadece fenotipik değeri ölçülür, bu değerin genotip ve çevreden gelen unsurlarını hesaplayamayız. Dolayısı ile bu bölümde genetik varyans ve unsurları için yazılacak olan formüller, genetik varyans unsurları anlaşılabilsin diye çıkarılmıştır; bunlar, bu derste görmeyeceğimiz varyans unsurlarını tahmin metotlarıyla tahmin ettiğimiz parametrelerdir. Bu unsurların tahminlerini yapabilmek için elde mevcut yegâne bilgi, bireylerin fenotipik değerleridir. Bu fenotipler arasındaki varyasyonun ne kadarının bireylerin genotipik değerleri arasındaki farklılıktan, ne kadarının çevre farklılıklarından kaynaklandığını bulabilmek için, populasyondaki bireylerin gruplandırılmasına dayanan özel denemeler yapılır ve bu denemelerin sonunda elde edilen yegâne veri, yine bireylerin fenotipik ölçüleridir. Genetik varyansın unsurları da yine bu denemelerle tahmin edilir. Bu dersin kapsamı dışındaki yöntemlerle bu gruplandırmanın dayandığı akrabalık kavramı ve akrabalığın ölçülmesi ele alınır ve bunlara dayanarak tahminlerin yapılması için geliştirilmiş çeşitli deneme metodları uygulanır.

            Eş.(VI.4)’ün sağındaki iki terimden, ıslah bakımından, σ_G²’nin yüksek olması arzu edilir. Fenotipik varyasyonda bu genetik varyasyonun payı ne kadar yüksek ise, uygulayacağımız ıslah metotlarının neticeye ulaşma şansı da o kadar yüksektir. Ne var ki, biz genetik değeri eklemeli ve dominanslık unsurlarına böldük. Eklemeli unsur, gametler yoluyla döllere aktarılabilen kısımdır ve bu yüzden bir genotipin eklemeli değerine damızlık değeri denir. Islah çalışmalarında asıl bu eklemeli kısma ait varyansın yüksek olması istenir, çünkü döllere geçecek kısım bu eklemeli kısımdır.

                  

            

oranına kalıtım derecesi denir. Eklemeli genetik varyansın fenotipik varyanstaki payına ise, dar anlamda kalıtım derecesi denir:

                           

           Kalıtım derecesi de genetik varyans unsurları gibi, çeşitli yöntemlerle tahmin edilir. Bu ders kapsamında bunlar ele alınmayacaktır. Sadece örnek olsun diye seleksiyon denemelerinden kalıtım derecesinin nasıl tahmin edildiği üzerinde durulacaktır. 

 

           Bir populasyonun üzerinde durulan kantitatif özellik bakımından fenotipik ortalamasını yükseltmek için seleksiyon çalışması yapılacaksa, dar anlamda kalıtım derecesinin yüksek olması arzu edilir. Damızlık olarak ayrılan hayvanların ortalaması ile populasyon ortalaması arasındaki farka seleksiyon üstünlüğü denir. Damızlıkların çiftleştirilmesinden elde edilen döllerin ortalaması ebeveynlerin ortalaması kadar olmaz, biraz daha küçük olur. Çünkü seleksiyon üstünlüğünün kalıtım derecesi kadarı döllere geçer. Bu değere genetik ilerleme denir. Formüllerle göstermek gerekirse, seleksiyon üstünlüğü:

 i=μ_s-μ_t

 Burada μ_t populasyonun t. generasyondaki ortalaması, μ_s bunlardan damızlık olarak seçilenlerin ortalamasıdır. Genetik ilerleme, ΔG olarak gösterilir:

          ΔG= μ_t+1- μ_t

 Pratikte hesaplanan bu iki değerden kalıtım derecesi aşağıdaki gibi hesaplanır:

          h²= ΔG/i.

Bu şekilde hesaplanan değerin dar anlamda kalıtım derecesinin tahmini olduğunu bilmek gerekir. Çünkü seleksiyon üstünlüğünün eklemeli gen etkilerinden kaynaklanan kısmı döllere geçer.

 

Misal: X.3- Bir Japon bıldırcını populasyonunda 5. hafta canlı ağırlığı ortalaması 110 gr olarak hesaplanmış, bunlardan damızlık olarak ayrılan hayvanların ortalaması ise 118 gr bulunmuştur. Damızlıklardan elde edilen döllerin ortalaması 112 gr olduğuna göre kalıtım derecesini kaç olarak tahmin edersiniz?

Seleksiyon üstünlüğü i=118-110= 8 gr.

Genetik ilerleme ΔG=112-110= 2 gr.

Seleksiyon üstünlüğünün (8gr), kalıtım derecesi kadarı (2 gr) döllere geçtiğine göre, kalıtım derecesi

h² = ΔG/i=2/8=1/4=0.25 bulunur.  

 

VI.2- Fenotipik Değer ve Unsurları: İki Alleli Tek Lokus Modeli

İki alleli bir lokus düşünelim: B ve b. Bu genler kantitatif bir karakter üzerinde belirli bir etkiye sahip olsunlar. Diploid bir populasyonda mümkün olan B₁/B₁, B₁/B₂ ve B₂/ B₂ genotiplerinin frekansları sırası ile, p², 2pq ve q² olsun.

Populasyonun genetik yapısını iki faktörlü bir deneme plânı gibi düşüneceğiz. Bir faktörün iki seviyesi anadan gelen B₁ ve B₂ gametleri, ikinci faktörün seviyeleri de babadan gelen B₁ ve B₂ gametleri. Böylece 2*2 faktöryel deneme plânı, şematik olarak Tablo:VI.1’deki gibi gösterilebilir.

Tablo:VI.1-  2*2 Faktöryel Deneme Plânında Faktör Seviyelerinin (erkek

 ve dişi gametlerle gelen genlerin) Kombinasyonları Olarak Genotipler

Faktör (Dişi Gamet	2. Faktör  (Erkek Gamet)
	B1	B2
B1	B1/B1	B1/B2
B2	B1/B2	B2/B2

 

Bizim asıl çalışma konumuz varyasyondur. Biliyoruz ki tesadüf değişkenlerine sabit bir değer eklemek varyansı değiştirmez. O yüzden, çalışmamıza, yukarıdaki G_i’leri Fisher (1918)’in orijinal notasyonuna çevirip devam edeceğiz. G_i’lerden iki homozigo-tun orta değerini, yani (G₁+G₂)/2’yi çıkarırsak, orijini ıskalada bu orta değere kaydırmış oluruz ve genotipik değerleri, B/B, B/b ve b/b için sırası ile,

            G₁-(G₁+G₃)/2=  a

            G₂-(G₁+G₃)/2=  d

            G₃-(G₁+G₃)/2= -a

şeklinde tanımlamış oluruz. Genotipik değerler, ham ve iki homozigotun orta noktasından sapmış haliyle Şekil VI.1’deki ıskalada gösterilmiştir.

 

          b/b                                   B/b             B/B

|--------|----------------------|-------|--------------|------->

0         G₃                                   G₂               G₁

                                  (G₁+G₃)/2

 

---------|----------------------|-------|--------------|------>

           -a                           0        d                 a

Şekil:VI.1- Genotipik Değer Iskalası

 

Buna göre Tablo:VI.1’de gösterilmiş olan genotipler, değerleri ve frekansları ile, Tablo:VI.2’de topluca gösterilmiştir.

Tablo:VI.2- İki Alleli bir Lokus için Genotipler, Değerleri ve Frekansları

Genotipler	Frekansları	Değerleri	1.Faktör	2.Faktör
B1/B1	p2	a	B1	B1
B1/B2	p.q	d	B1	B2
B2/B1	p.q	d	B2	B1
B2/B2	q2	-a	B2	B2

 

	1. Faktör
2.Faktör	B1	B2
B1	B1/B1    p2      a	B1/B2   p.q    d
B2	B2/B1    p.q    d	B2/B2   q2     -a

Buna göre populasyon ortalaması,

(VI.5)            

olarak bulunur. Eşitlik VI.3’ten genotipik etkileri, i=B/B, b/b ve b/b için, sıra ile,

(VI.5a)          

(VI.5b)          

(VI.5c)          

şeklinde hesaplanır.Bu genotipik etkiler, iki faktörün (genin) birlikte etkilerini göstermektedir. Bu birlikte etki, faktöryel bir deneme düzeninde olduğu gibi, sahip oldukları iki genin ana etkileri (tek başına etkileri) ve aralarındaki interaksiyon etkisi olarak unsurlarına bölünebilir. Buna göre (eşitlil: VI.6’larda B₁ allelini B, B₂ allelini b olarak gösterdiğimize dikkat!)

(VI.6a)                        

(VI.6b)                        

(VI.6c)                        

Faktöryel düzendeki ana etkilere karşılık gelen α_B ve α_b, kantitatif genetikte, genlerin eklemeli etkileri, aralarındaki interaksiyonları ifade eden δ_i’ler ise, dominanslık etkileri olarak isimlendirilir. Eşitlik 6a-c’deki α’ların, yani genlerin eklemeli etkilerinin toplamı, ilgili genotipin damızlık değeri olarak bilinir. Deneme plânlamasından hatırlanacağı üzere, 1. faktörün (aynı zamanda 2. faktörün) B seviyesi, o seviyedeki alt grupların (B/B ve B/b) ortalamasının populasyon ortalamasından farkına eşit bir etkiye sahip olduğuna göre,

(VI.7a)            

ve benzer şekilde

(VI.7b)      

yazılabileceği açıktır. Eşitliklerdeki  ifadesinin,    farkına eşit olduğu gösterilebilir:

(VI.8)  

Buna göre, populasyonda b geni yerine B geni ikame etmekle populasyonda meydana gelecek değişiklik  kadardır. Bu, Tablo:VI.2’den, B’lerin ortalaması ile b’lerin ortalaması arasındaki farktan  kolayca görülebilir:

Eşitlik (VI.8)’deki bu değer, bir gen (b geni yerine B geni) ikamesinin ortalama etkisi (the average effect of a gene substitution) olarak tanımlanır. Bunu β ile göstereceğiz.

            Dominanslık etkilerini, ilgili faktör seviyelerinin kombinasyonlarının (genotipik etkilerin) ortalamasından ana etkilerin (genlerin eklemeli etkilerinin) toplamını çıkararak bulabileceğimiz, eşitlik (VI.6)’lardan aşikârdır:

(VI.9a)                        

(VI.9b)                                

(VI.9c)                        

            Bir genotipteki eklemeli gen etkilerinin toplamına o genotipin damızlık değeri (breeding value) denir. Buna göre B/B, B/b, ve b/b genotiplerinin damızlık değeri sıra ile, 2qβ, (q-p)βve -2pβ değerlerine eşittir. Böylece bir genotipin etkisini, eklemeli etki (damızlık değeri) ve dominanslık sapması olarak iki kısma ayırmış oluyoruz.

            Faktöryel düzende olması gerektiği gibi, gerek genotiplerin etkilerinin, gerekse bunların eklemeli etki ve dominanslık sapması unsurlarının beklenen değeri sıfıra eşittir:

            

 

            VI.3- Genotipik Varyans ve Unsurları

            Genotipik değerin Eşitlik (VI.3) tanımı, aslında klâsik bir lineer modeldir.  Genotipik etkinin Eşitlik (VI.6)’daki açılımını Eşitlik (VI.3)’te yerine koyarak bu lineer modeli,

(VI.10)          

şeklinde ifade etmiş oluyoruz. G_ij genotipinin damızlık değeri, Eş.VI.6’lardakine benzer şekilde α_i+α_j değerine eşittir. Burada ortalama dışındaki terimlerin beklenen terimleri sıfır olduğuna göre, ilgili terimlerin varyansları bu terimlerin karelerinin beklenen değerine eşittir:

(VI.11a)          

(VI.11b)          

Eşitlik:(VI.10)’da μ sabit olduğundan ve V(α_i)=V(α_j) olduğundan,

(VI.11c)          

yazılabileceği açıktır. Zira, rasgele çiftleşen bir populasyonda birleşen gametler tamamen rasgele, yani her hangi bir gene sahip bir gamet, her hangi bir gene sahip gametle tamamen bağımsız olarak, birleşmektedir; bu yüzden ilgili terimlerin kovaryansları sıfırdır. Ancak daha ileride ele alınacağı gibi, akrabalı yetişmenin söz konusu olduğu populasyonlarda, kov(α_iα_j), kov(α_iδ_ij) terimleri sıfır değildir.

              Eşitlik:(VI.11c)’deki ilk terim eklemeli etkilere, yani damızlık değerine ait varyans olduğundan, buna eklemeli genetik varyans denir ve V_A veya σ_A² olarak gösterilir. Toplam genetik varyansın ikinci terimi de dominanslık varyansıdır ve V_D veya σ_D² olarak gösterilir. Burada V_A=2V(α) olduğu görülmektedir, yani eklemeli genetik varyans, eklemeli gen etkileri arasındaki varyansın iki katına eşittir. Buna göre Eşitlik:(VI.11c)’de gösterilen genetik varyansı,

(VI.12)            

şeklinde iki unsura ayırmış oluyoruz.

             Misal:VI.2- Bazı bitkilerde bodurluk geni alleline resesif olup, yapılan bir melezleme çalışmasında F₂ bitkilerinde, B/B genotipli bitkilerin boy ortalaması 60.5 cm., B/b genotiplilerin 52.5 cm. ve b/b genotiplilerin ise 24.5 cm. bulunmuştur. a) F₂ populasyonunda gen etkilerini, genotip etkilerini, dominanslık sapmalarını, toplam genetik varyansı ve unsurlarını hesaplayınız. b) q=.1,.2…,.9 için toplam genetik varyansı ve unsurlarını hesaplayınız. Genetik varyans ve unsurlarının, gen frekansındaki değişimini (bu frekanslara karşılık alacağı değerleri) bir grafikle gösteriniz.

                

a)       F₂’de p=q=0.5 olduğundan,

gerçek ortalama 42.5+5=47.5. Bir gen ikamesinin ortalama etkisi,   olup buna göre

  

olup eklemeli genetik varyans bunlardan, .

Dominanslık sapmaları

olarak hesaplanır ve buradan dominanslık varyansı  olup, toplam genetik varyans buna göre

     olarak bulunur.

 

b)       q’nun çeşitli değerlerine karşılık β, μ ve ilgili varyans unsurları, aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. q’nun diğer değerleri için hesaplamalar eksersiz olarak okuyucuya bırakılmıştır.

 

q
.10	10	18	3.24	21.24	16.20
.20	12	46.08	10.24	56.32	14.00
.25	13	63.375	14.0625	77.4375	12.75
.50	18	162.00	25.00	187.00	5.00
.70	22	203.28	17.64	220.92	-3.00

 

            VI.6- Çok Lokuslu Modeller

 

            Bu bölümün başında da ifade edildiği gibi, kantitatif bir karakteri kontrol altında tutan genlerin bulunduğu lokus sayısı yüzlerce ve bütün bir genoma dağılmış olabilir. Bu yüzden, şimdiye kadar tek lokus için geliştirdiğimiz modeli, çok lokusa teşmil etmek durumundayız. Böyle n lokus düşünelim. i genotipli bireylerden rasgele bir j. bireyin fenotipini daha önce (Eş. VI.2),

            

olarak gösterdik. n lokusun her birinden g_i’ye olan katkı bir tesadüf değişkenidir. Buna göre, allel olmayan genler arasında bir interaksiyon yoksa i. genotipin etkisini, bütün lokuslar üzerinden

(VI.13)            

şeklinde bir eklemeli modelle göstermek mümkündür. Burada x_j, j.lokustaki etkiyi ifade etmektedir. g_i’nin beklenen değeri, x_j’lerin beklenen değerlerinin toplamına, dolayısı ile sıfıra eşittir. O halde, her lokusta iki allel için populasyonun fenotipik ortalamasını, j. lokustaki değerleri o lokus için iki homozigotun orta noktasından sapmalar olarak a_j, d_j ve -a_j ile belirtirsek,

(VI.14)            

şeklinde gösterebileceğimiz açıktır. Bu n tesadüf değişkeninin toplamının, yeni Eş.(VI.13) ile gösterilen genotiplerin etkilerinin varyansı da

(VI.15)                        

olacaktır. n=2 için, Eş.(VI.15)

            

şeklinde yazılabilir. Sonuncu terim, kovaryans,

            

şeklinde de ifade edilmektedir, burada r₁₂ iki değişken arasındaki korelasyon katsayısıdır, σ_xise varyansın karekökü, standart sapmadır.

           Biz kovaryansları sıfır kabul edeceğiz. Bu kovaryans, daha önce ele alınan, i. ve j. lokuslar arasındaki bağlantı dengesizliğinin bir fonksiyonudur. İki lokus için bir gametin (meselâ AB’nin) oluş ihtimali, o gametteki genlerin (A ve B’nin) oluş ihtimallerinin çarpımına eşitse, yeni P(AB)=P(A).P(B) ise, o genlerin dağılımı birbirinden bağımsızdır ve bu, bağlantı dengesizliğinin sıfır olması demektir. Bu da, iki lokusun etkileri arasında bir kovaryans olmaması demektir. Böyle bir kabul, daha önce ifade edildiği gibi, uzun süredir rasgele çiftleşen büyük populasyonlar için büyük ölçüde geçerlidir.

            Çok lokuslu modeller çalışılırken üzerinde durulması gereken ikinci husus, lokuslardaki etkiler arası interaksiyondur. Aynı lokustaki genler (alleller) arasındaki interaksiyonun, dominanslık etkisi veya sapması olarak ifade edildiğini gördük. Allel olmayan genlerin etkileri arasında da benzer interaksiyonlar söz konusudur. Bu allel olmayan genler arasındaki interaksiyonlar, genel olarak, epistasi terimi ile ifade edilir. Terim ilk defa, 1908 yılında Bateson tarafından örtücü gen etkilerini ifade etmek için kullanılmıştır. Klasik Genetik dağarcığında, “Allel Olmayan Genler Arasında ilişkiler” bahsinde ele alınan “epistasi” de, bu anlamda kullanılır. Burada ise, iki lokusun birlikte meydana getirdiği genotipik değerin, lokusların tek tek değerleri toplamından farklı olduğu her durum, yani interaksiyon, epistasi deyimi ile ifade edilecektir. Dikkat edilsin ki bu durumda eşitlik: VI.13’te verilen model, epistasi olmayan bir modeldir. Epistatik modelde genotipik değerlerin populasyon ortalamasından farkını, yani genotipik etkileri, sembolik olarak y_ijkl ile gösterelim. Eğer epistasi yok ise, eş. VI.13’ü iki lokus için aşağıdaki gibi yazabiliriz:

   (VI.16)         

olup, burada i ve j 1. lokustaki, k ve l de ikinci lokustaki allelleri ifade etmektedir. Meselâ A/A B/B genotipi için i=j=k=l=1, A/a b/b için i=1, j=k=l=2 olur. İki allel durumunda modeldeki etkiler, klâsik Fisher notasyonu ile,

                 

            Epistasinin varlığı halinde Eşitlik: VI.16’yı

(VI.17)            

şeklinde yazabiliriz. Bu epistatik etkiyi, diğer unsurların eklemeli etkilerinden (etkilerinin toplamından) sapmalar olarak unsurlarına ayırabiliriz:

(VI.18)        

Etkileri uygun şekilde yeniden düzenleyerek ve parantezleri uygun harflerle isimlendirerek

(VI.19)     

şeklinde genotipik etkiyi ifade edebiliriz. Bu modeli n lokusa genellersek

 

(VI.20)       

 

            Bu etkilerin hesaplanması, deney tertiplemede faktöryel düzen denilen usulle yapılır*. Zaten yazdığımız model, faktöryel bir lineer modeldir. Benzer etkileri bir arada yazdığımız Eşitlik: VI.23’teki terimlerin her birisinin varyansı, etkilerin beklenen değerleri sıfır olduğundan, karelerinin beklenen değerine eşittir. İnteraksiyon unsurlarının beklenen değerleri de benzer şekilde sıfıra eşittir. Etkiler arasında bir kovaryans olmadığı varsayımına göre, toplam genetik varyansı,

(VI.21)     

olarak yazabiliriz. Burada her varyans, ilgili etkilerin karelerinin beklenen değerine eşittir. Meselâ,

(VI.22)            

olup, iki lokus iki allel için

  

Buradaki αdeğerleri, eşitlik: VI.7a,b deki B ve b genlerinin eklemeli etkilerine tekabül etmektedir. İki lokus iki allel için dominanslık varyansı da benzer şekilde

   

            Misal:VI.4- p₁=q₁=p₂=q₂=0.5 olan iki lokusta genotipik değerler aşağıdaki gibi verildiğine göre, genotip etkilerini ve varyanslarını bulunuz.

 

 

	B/B	B/b	b/b
A/A	1	1	0
A/a	1	1	0
a/a	0	0	0

 

                Misal tamamlayıcı gen etkisine aittir. Genotipleri 4 faktörlü bir deneme gibi düşüneceğiz. Bu durumda aşağıdaki gibi bir tablo belki daha kullanışlı olacaktır:

1. faktör	2.faktör	3.faktör	4.faktör	n	Xijkl
A	A	B	B	0.0625	1
A	A	B	B	0.0625	1
A	A	b	B	0.0625	1
A	A	b	B	0.0625	0
A	A	B	B	0.0625	1
A	A	B	B	0.0625	1
A	A	b	B	0.0625	1
A	A	b	B	0.0625	0
A	A	B	B	0.0625	1
a	A	B	B	0.0625	1
a	A	b	B	0.0625	1
a	A	b	B	0.0625	0
a	A	B	B	0.0625	0
a	A	B	b	0.0625	0
a	A	b	B	0.0625	0
A	A	b	b	0.0625	0

 

Buradan ortalamalar aşağıdaki gibi hesaplanır:

      

Etkileri de şöyle hesaplarız:

1.lokus                                                                                           2.lokus

Bu etkilere ilişkin varyanslar da, karelerin beklenen değerleri cinsinden:

 

          Çalışma Problemleri

1-      Kantitatif Genetik yöntemlerinin uğraşı alanı aşağıdakilerden hangisidir?

a.       PCR ve RFLP yöntemlerini kullanarak bir genin belirli bir DNA segmenti bakımından populasyonda polimorfizm olup olmadığına bakar

b.      Kantitatif özelliklerde gözlenen fenotipik varyasyonun genotipik olan ve olmayan kısımlarını tahmin etmeye çalışır.

c.       Bir canlının genomundaki toplam DNA miktarını bulmaya çalışır

d.      Bağlı genler arasındaki uzaklığı tahmin etmeye çalışır.

 

2-      Aşağıdaki deyimleri açıklayınız: eklemeli varyans, damızlık değeri, bir gen ikamesinin ortalama etkisi, kalıtım derecesi, interaksiyon etkisi.

3-      Varyans unsurlarını tahmin etmek niçin önemlidir?

4-      Bir bıldırcın populasyonunda 5. Hafta canlı ağırlığa ait kalıtım derecesi 0,12 olarak tahmin edilmiştir. Bu populasyonda ağırlık ortalamasını artırmak maksadıyla seleksiyon yapılmaktadır. Ortalaması 112 gr olan populasyonundan seçilen damızlıkların ortalaması 120 gr olduğuna göre bunlarda elde edilen döllerin ortalaması kaç olsun beklenir?

5-      AA genotipli bitkilerin boyu ortalama 33 cm, Aa genotipli bireylerin boyu 30 cm ve aa genotiplilerin ki 20 cm bulunmuştur. A geninin frekansı 0.7 olduğuna göre, populasyon ortalamasını, A geninin eklemeli etkisini, bir gen ikamesinin ortalama etkisini, Aa genotipli bireylerin damızlık değerini, genetik varyansı ve eklemeli ve dominantlık unsurlarını n kaç olması beklenir? Hesaplayınız.

 

 

BÖLÜM IV

 

GEN FREKANSINI DEĞİŞTİREN AMİLLER

 

 

Hardy Weinberg dengesindeki bir populasyonda, iki allelli bir lokusta, gen ve genotip frekansları arasında,

P(AA)= f₁ = p²     P(Aa)= f₂ = 2pq       P(aa)= f₃ = q²

şeklinde bir ilişki vardır. Bu ilişki,

                 f₂² = 4 f₁ f₃

olarak da gösterilebilir. Bu ilişkinin çok allele genellenerek ifadesi:

(IV.1)                  (Σ p_iA_i)=(Σ p_iA_i)².

Gen ve genotip frekansları arasındaki bu sabit ilişki, birinci bölümde ele alınan ideal şartlar değişmediği sürece, generasyonlar boyunca devam eder gider. İdeal şartlardan bir sapma, rastgele çiftleşmeden sapmadır. Geçen bölümde benzeyenlerin çiftleşmesi ve benzemeyenlerin çiftleşmesi olarak bu sapmanın etkileri üzerinde duruldu. Rastgele çiftleşmeden sapmanın etkileri, doğrudan genotip frekansları üzerinedir. Populasyon rastgele çiftleşmeye avdet edince, genotip frekansları da eski denge frekanslarına döner. Rastgele çiftleşmeden sapmanın gen frekanslarını doğrudan değiştirici etkisi, genellikle, yoktur. Bu bölümde ise, gen frekansını doğrudan değiştiren amiller üzerinde durulacaktır. Bunlar, evolusyoner amiller olarak bilinen, göç, mutasyon,  seleksiyon ve şanstır.

Gen frekansını değiştiren amillerden mutasyon, göç ve seleksiyonun gen frekansında sebep oldukları değişmenin miktarı ve yönü çalışılabilir. Onun için Wright bunlara sistematik etkili amiller demiştir (Crow ve Kimura1970). Modelimizi yine, etkileri anlayabilmek için, basitleştirici bir varsayımla, bu amillerin etkilerinin her generasyon sabit olduğu varsayımıyla geliştireceğiz.

Şans ise, dispersif etkilidir. Değişmenin miktarı çalışılabilir ama yönü belirsizdir. Küçük populasyonlarda örnekleme etkisi olarak ortaya çıkar ve gen frekansında meydana getirdiği değişme miktar olarak belirlenebilir, ama bir generasyonda artan bir generasyonda azalan yönde olabilir; yönü önceden belirlemek imkânsızdır (Falconer 1981). Ancak sistematik etkili evolüsyoner amillerin, bilhassa seleksiyonun etkisi de generasyondan generasyona tesadüfi oynamalara maruz kalabilir (Crow ve Kimura 1970). Ancak şansın bu diğer evolusyoner amiller üzerine etkisini bu kitapta ele almayacağız. Seleksiyon etkisinde tesadüfi oynamaların gen frekansını nasıl değiştirdiğini merak edenler için Crow ve Kimura (1970, sayfa 414-418) tavsiye edilir.

Sistematik etkili amiller bu bölümde, şansın etkisi ise gelecek bölümde ele alınacaktır.

 

 

IV.2- Mutasyon

Genetik varyasyonun birincil kaynağı mutasyondur. Mutasyon, en geniş anlamda, genetik materyaldeki her çeşit kalıtsal değişikliktir. Ve genetik materyalde böyle bir değişiklik olmazsa genetik varyasyon olmaz. Mutasyon, bu geniş anlamı ile kromozomların sayısındaki (genom içinde bir veya birkaç kromozomun ekilmesi veya çoğalması şeklinde –polisomi-  ve genomdaki toplam kromozom sayısının katları şeklinde –poliploidi-) değişiklikler olabilir. Mutasyonun çalışılan bir başka biçimi kromozomların yapılarındaki değişikliklerdir (kromozomun bir parçasının kırılarak olduğu yerde ters dönmesi, kromozomun bir parçasının eksilmesi veya kopyalarının peş peşe tekrarlanması vb). Bu büyük ölçekli mutasyonlar, bilhassa poliploidi, bitkilerde türler arası ve türler içi varyasyonda önemli bir role sahiptir.

Ancak burada üzerinde durulacak olan mutasyon, daha küçük ölçekli, DNA nükleotid dizisindeki değişmelerdir. Tabii populasyonlardaki genetik varyasyon, esasen nokta mutasyonu veya gen mutasyonu diye ifade edilen bu moleküler değişikliklerden kaynaklanır.

Gen mutasyonları, moleküler seviyede:

-       DNA’daki nükleotid çiftlerinin yerine başka çiftlerin geçmesi (substitution),

-          Belirli bir nükleotid dizisinin tekrarlanması (duplikasyon) veya düşmesi (delesyon),

-          Bir dizi nükleotidin ters dönmesi (insersiyon), yer değiştirebilen (transposable) elementler olarak bilinen bazı dizilerin genom içinde yer değiştirmesi (transpozisyon) gibi sebeplerle ortaya çıkar.

Kromozom seviyesinde de, yukarıdaki paragrafta bahsedildiği gibi,

-       Büyük DNA parçalarının düşmesi veya tekrarlanması şeklinde olabileceği gibi,

-          DNA’nın bölünme esnasında kırılıp bir parçanın ters dönerek o segmentte yeni bir dizinin ortaya çıkması (inversiyon),

-          Homolog olmayan kromozomlar arasında parça değiş tokuşu (translokasyon), gibi sebeplerle ortaya çıkar.

Görüldüğü gibi kromozom yapısındaki mutasyonlarla, moleküler seviyedeki mutasyonlar arasındaki fark, ölçektedir; değişime uğrayan parçanın büyüklüğündedir.

Bir gen, çeşitli mutagenlerin etkileriyle veya kromozom replikasyonundaki bir hata yüzünden başka bir allel formuna dönüşebilir. Eğer meydana gelen değişiklik fenotipik olarak fark edilebiliyorsa ve döllere geçmişse bir anlam taşır. Eskiden fenotipik değişikliklere yol açmayan kalıtsal genetik değişiklikler mutasyon olarak kabul edilmiyordu. Şimdilerde ise bunlara, sessiz (silent) mutasyon denmektedir.

Konumuz bakımından, görülüyor ki, ebeveyninden A_i ve A_j allellerini almış olan bir birey kendi dölüne A_k allelini geçirebilir. Bu allel populasyonda zaten mevcut bir allel de olabilir, tamamen yeni bir allel de olabilir. Böyle bir tek yeni genin populasyonda muhafaza edilmesi ve hatta diğer allellerin aleyhine populasyonda generasyondan generasyona yayılması nasıl mümkün olmaktadır? Bu sorunun cevabı, daha sonra seleksiyonun ve küçük populasyonlarda şansın etkisi ele alındıktan sonra araştırılacaktır.

Gen mutasyonları, kendiliğinden, çok düşük oranlarda ortaya çıkmaktadır (gen başına her generasyon 10^-4 ile 10^-6 arasında). Birkaç generasyon boyunca, her generasyon bu kadar düşük oranlarda tekrarlanan mutasyonun, allel frekansını değiştirici etkisi ihmal edilecek kadar küçüktür. Mutasyonun gen frekansını değiştirici etkisi, asıl, uzun generasyonlar sonunda dikkate değer büyüklüğe ulaşır. Ayrıca bir bireyin genomundaki bütün nükleotidlerin mutasyona uğrama şansı vardır. Meselâ mutasyon oranı her nükleotid çifti için ortalama olarak generasyon başına bir insan populasyonda 10^-9 olsun. İnsanlarda yaklaşık genom büyüklüğü yaklaşık olarak 3*10⁹ olduğuna göre rastgele bir gamette ortalama 3 adet nükleotid çiftinde mutasyon olması beklenecektir. Yeni bir zigotta o zaman ortalama 6 adet yeni (mutant) allel var demektir. Eğer bugünkü insan nüfusu yaklaşık 6,5 milyar tahmin ediliyorsa demek oluyor ki 6*6,5milyar yani toplamda 40 milyara yakın mutant allel şu anda aramızda dolaşıyor demektir.

Allellerin diğer allellere her generasyon çok küçük oranlarda ve fakat mütemadiyen dönüştüğü bir durumda populasyonun genetik yapısı generasyonlar boyunca nasıl değişmektedir? Bu sorunun cevabı, ideal-model populasyonda diğer varsayımlar aynı kalmak üzere, sadece mutasyonun etkisini araştıracak bir modelle verilmeye çalışılacaktır.

Tek Yönlü Mutasyon

Mutasyon yeni allellerin meydana gelmesine sebep olur. Ancak yeni mutant allelin frekansı, büyük populasyonlarda çok küçük olsa gerektir. Meselâ N bireyden oluşan bir insan populasyonu düşünelim. Yeni bir mutant allelin oranı başlangıçta 1/2N olsun. Yani 2N gametten bir tanesinde mutasyon meydana gelmiş olsun. Ardıl generasyonlarda yeni mutasyonlar mutant allelin sayısını artırabilir. Fakat bu şekilde tekrarlanan mutasyonlar mutant allelin frekansını çok yavaş artırır. Misal olarak A yabani allel, a da mutant allel olsun. Her generasyon sadece bir mutasyon olduğunu varsayarsak mutant allelin frekansı ardıl generasyonlarda 1/(2N), 2/(2N),… gibi bir seriye uygun şekilde artacaktır. Populasyon ne kadar büyükse tekrarlanan mutasyon yüzünden allel frekansının değişmesi o kadar yavaş olacaktır. Mutasyonun gen frekansındaki etkisine mutasyon baskısı (pressure) diyoruz. Ancak uzun generasyonlar sonundaki birikmiş (kümülatif) baskı kıymet ifade eden bir değişikliğe yol açabilir.

A yabani allelden a mutant allele her generasyon u kadar mutasyon olsun[1]. A yabani allelinin frekansında bir generasyondaki değişme

(IV.2)                           p_t = p_t-1(1-u)

kadar olur. İki generasyon sonra A allelinin frekansı

(IV.3)                           p_t+1 = p_t-1(1-u)²

olacaktır. Sonuç olarak

(IV.4)                           p_t = p₀ (1-u)^t

yazılabileceği açıktır. (1-u)^t niceliği yaklaşık olarak ilk generasyonlar için 1-ut alınabilir. Ancak ileri generasyonlarda t, 1/u’ya yaklaştıkça gen frekansındaki azalma da artacaktır, gerçi bir taraftan da yavaşlayacaktır.

Misal: IV.2- u=10^-4 olsun. p₀ da 1 ise, A geninin frekansında değişme 5 generasyon sonra

p₅ = (1-0.0004)⁵.1 = 0.9980016

Yaklaşım formülüyle ise,

p₅ = 1-0.0004*5 = 0.9980000 bulunur. Ancak ileri generasyonlarda durum değişecektir. Meselâ bütün diğer şartlar sabit ve u da sabit devam ederse 10 generasyon, 250, 2500 ve 25000 generasyon boyunca değişme aşağıdaki grafiklerde görülmektedir.

R yazılımıyla yapılan işlem aşağıdaki gibidir:

> t=(1:11)

                        > pt=(0.9996)^(t-1)

                         > plot(t-1,pt,xlab="generasyonlar",ylab="gen frekansı")

                         > t=(1:2501)

                         > pt=(0.9996)^(t-1)

                         > plot(t-1,pt,xlab="generasyonlar",ylab="gen frekansı")

> t=(1:25001)

> pt=(0.9996)^(t-1)

> plot(t-1,pt,xlab="generasyonlar",ylab="gen frekansı")

> t=(1:251)

> pt=(0.9996)^(t-1)

> plot(t-1,pt,xlab="generasyonlar",ylab="gen frekansı")

> plot(t-1,pt,xlab="generasyonlar",ylab="gen frekansı")

 

           

 

 

 

 

Çift Yönlü Mutasyon

A ve a allellerinin frekansı p ve q olsun. A’dan a’ya mutasyon hızı u, a’dan A’ya mutasyon hızı v olsun. Buna göre bir generasyon sonra rastgele bir A geni ya mutasyona uğramamış A’lardandır, ki bunun ihtimali (1-u)p veya mutasyonla a’dan A’ya dönüşmüş bir gendir, ki bunun ihtimali vq’dur. Yani A geninin frekansı yeni generasyonda up kadar azalacak, vq kadar artacaktır:

(IV.5a)                 p^’ = (1-u)p+vq = p-up+vq

aynı şekilde

(IV.5b)                q^’ = (1-v)q+up = q-vq+up

olacaktır. Öte yandan A geninin frekansında bir generasyonda meydana gelen değişme,

(IV.6)       

Bu değişmenin sıfır olması, yani gen frekansının artık değişmeyen sabit bir yeni değere ulaşması, populasyonun yeni bir dengeye ulaşması demektir:

(IV.7)                  

Bu değerlere mutasyonel denge frekansı denilecektir. Meselâ u=2v ise, yani her generasyon A’dan a’ya mutasyon, a’dan A’ya mutasyonun 2 katı ise, mutasyonel denge frekansları A için v/3v=1/3, ve a için 2v/3v=2/3 olacaktır. Bu gen frekanslarına ulaşan bir populasyon, diğer faktörler etkili olmadığı ve mutasyon hızları değişmediği sürece, dengede kalacaktır.

 

       Mutasyon tabiatta çok rastlanan hızlarla populasyonda çok yavaş bir değişmeye yol açar. Mutasyonel denge frekansına ulaşmak için binlerce generasyona gerek vardır. Gerekli süreyi bulmak için (IV.5a) yeniden yazılırsa

 

                  

bulunur. Buna göre t generasyon sonra

(IV.8)  

Misal: IV.2- Belirli bir gen frekansına ulaşma, meselâ sapmanın yarıya inme süresi generasyon sayısı cinsinden hesaplanabilir:

yani (1-u-v)^t=1/2 olsun isteniyor.

 

u=10^-4= 0.0001 ve v=10^-5= 0.00001 için

t= -.69315/-.00011~6300

ve bu durumda mutasyonel denge frekansı

u/(u+v)=.00001/.00011=1/11=.091 olarak bulunur.

Mutasyonel denge frekansı ve buna ulaşmak için gerekli generasyon sayısı, görüldüğü gibi, başlangıçtaki gen frekansından bağımsızdır.

Geriye mutasyonla ilgili çalışmalar göstermektedir ki, yabani tipten mutant tipe olan değişme, tersinden 10 misli daha fazladır, yani u=10v alınabilir (Falconer, 1981). Böyle lokuslar için mutasyonel denge frekansları, bu durumda, =1/11,  olarak bulunur. Yukarıda verilen misalde de esasen bu gerçekçi duruma uygun rakamlar verilmiş ve çözüm de yaklaşık 6300 generasyon sonra 1/11 değerine çok yaklaşmıştır. 

Buradaki yaklaşım, daha önce de ifade edildiği gibi, bilimsel çalışmaların birçoğunda olduğu gibi, basitleştirici varsayımlara dayanır ve mutasyonun etkisini kavramaktan öteye bir anlam taşımaz. Dolayısı ile burada bulunan değerler, tabiatta rastlanabilecek gerçek değerler değildir. Çünkü bu kadar uzun süre, mutasyon hızları böyle sabit ve mutasyon dışındaki amiller böyle etkisiz kalmazlar (Jacquard, 1974).

Özet olarak, mutasyon, bir populasyon içinde görülen, hatta bir tür içinde görülen genetik varyasyonun birincil kaynağı olmakla beraber, populasyonun genetik yapısını değiştirici etkisi, tek başına, çok yavaştır. Evolusyoner süreci etkileyen bir amil olarak mutasyonun etkisi, buradaki gibi küçük hızlı ve spontan olarak sürekli vukubulan bir nokta mutasyonu modeli ile değil de, “punctuatedmutation – ani mutasyon” denilen, çok büyük bir oranda ve belki tek bir generasyonda ortaya çıkmış bir etki modeli ile açıklanmaya çalışılır. Genellikle böyle bir mutasyondan sonra seleksiyonun etkisini dikkate almak gerekir.

 

IV.2- Göç

Aynı başlangıç populasyonundan gelen alt populasyonlar, şans ve coğrafi izolasyonun etkisiyle, giderek farklı genetik kompozisyonlara sahip olurlar. Böyle alt populasyonlara, deme (kapalı grup) denmektedir. İzolasyon çok eskiden vuku bulmuşsa, küçük populasyonlar bahsinde ele alındığı gibi, şansın etkisiyle grupların her birinde şu veya bu allel istikametinde homozigotlaşma beklenir. Böyle alt populasyonların birinden diğerine göç, göç edilen grubun gen frekansını değiştirici bir amildir.

A allelinin frekansı p olan bir populasyona, başka bir populasyondan göç olsun. Göçün büyüklüğü bir m sayısı ile ölçülür. m, rastgele bir genin muhacir olma şansıdır; yani bütün genler içinde muhacirlerin nisbi miktarıdır. Muhacir genler içinde A allelinin nisbi frekansı p_m olsun. Göçten sonra rastgele bir genin yerli ve A olma ihtimali (1-m)p ve muhacir ve A olma ihtimali mp_m’dir. A’nın yeni nispeti buna göre,

(IV.9)                  p₍₁₎ = (1-m)p + mp_m = p + m(p_m-p)

Buradan, göçün bir generasyondaki etkisi, göçten önceki frekansla sonraki frekans arasındaki fark olarak,

(IV.10)                

şeklinde ifade edilir. Buna göre, dışarıdan göç alan bir populasyonda gen frekansındaki değişme hızı, göç nispetine ve muhacirlerle yerliler arasındaki gen frekansı farkına bağlıdır.

Pratikte, generasyon başına ortalama göç oranı m bulmak istenir:

     

buradan, generasyon başına ortalama m kadar göçün vuku bulduğu bir durumda t generasyon sonra,

     

olacaktır. Göç miktarını

(IV.11)                

denkleminden bulmak mümkündür. Burada diğer amiller yok sayıldığı için p_m‘in generasyonlar boyunca sabit devam ettiğine dikkat!

Bu göç modeli en basit ada modeli sayılır. Ada modelinde, ana populasyondan ayrılmış birçok ada populasyondan birbirine göç vardır. Bizim çalıştığımız bu basit modelde, tersine göç söz konusu değildir. Her generasyon belirli bir alt populasyondan yine belirli bir diğerine ortalama m kadar göç olmaktadır.

Misal: IV.1- rh(-)geninin frekansı Amerikan beyazlarında 0.028, siyahlarında 0.446 bulunmuştur. Aynı gen, Amerikalı zencilerin orijini sayılan Batı Afrika’da bugün 0.630 olduğuna göre, beyaz populasyondan siyahlara göçün oranı generasyon başına ortalama kaçtır?

Göçün bundan 300 yıl önce gerçekleştiği ve her generasyonun yaklaşık 30 yıl olduğu düşünülürse, demek ki, 10 generasyondur beyazlardan siyahlara göç olmaktadır. Çünkü melez çocuklar zenci sayılmaktadır. Eşitlik (IV.11)’den,

(1-m)¹⁰ = (0.446 - 0.028) / (0630 - 0.028) = 0,69435 ve 1-m = e^ln0.69435/10 = 0.96418

ve buradan m=0.0358 bulunur. Diğer bazı genlerin frekansları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kan grubu genleri	Batı Afrika (p)	ABD zenciler (p10)	ABD beyazlar (pm)	Göç miktarı (m)
M	0.474	0.484	0.507	0.0355
S	0.172	0.157	0.279	-0.0132
Fya	0	0.045	0.422	0.0112
Jka	0.693	0.743	0.536	-0.0280

 

m için farklı ve hatta negatif tahminler çıkması, yapılan analizin zayıflığını göstermektedir. Bu da, Amerikalı zencilerin kaynağının belirsizliğinden ve 300 sene önceki köle pazarlarında gen frekanslarının çok farklı olmasından kaynaklanmaktadır.

Göçün etkisi son yıllarda, ada modelinin iki taraflı göç halinde nasıl olacağı, kapalı alt gruplar ve aralarında göç halinde ne olacağı, küçük populasyonlarda göç ve şansın birlikte etkileri gibi birçok problemi ele alacak şekilde kapsamlı olarak çalışılmaktadır.

Çalışma Problemleri

1-      A’dan a’ya mutasyon hızı u=10^-6 ve a’dan A’ya mutasyon hızı v=10^-7 ise aşağıdaki yapıda bir populasyonun ertesi generasyon genotip kompozisyonunun nasıl olacağını bulunuz. A geninin frekansı dengede kaça eşittir?

Genotip:         AA    Aa     aa

Frekans:         0.25  0.50  0.25

2-      Birinci soruda verilen populasyonds A geninin frekansı kaça eşittir? Bu değerle denge frekansı arasındaki farkın mutasyonla yarıya inmesi için kaç generasyon gereklidir?

3-      Bir populasyonda A geninin frekansı 0.30, başka bir populasyonda ise 0.60’tır. Başka populasyondan ilk populasyona devamlı göç olmaktadır. 5 generasyon sonra gen frekansı 0.30’dan 0.39’ye yükseldiğine göre ortalama göç oranını bulunuz. Bulduğunuz değer ne anlama gelir? Açıklayınız.

 

 

BÖLÜM IV

GEN FREKANSINI DEĞİŞTİREN AMİLLER

 

 

IV.4- Seleksiyon

 

Seleksiyon, gen frekansında, mutasyon ve/ya göç olmaksızın tek bir yönde sistematik değişiklik meydana getiren bir işlem olarak tanımlanabilir ve bu işlemler çok çeşitli şekillerde olabilir ve birçok sebeple ortaya çıkabilir. Seleksiyon denilen işlemin olması için, birden fazla allel olması gerekir, yani p=0 veya p=1 olduğunda seleksiyon gen frekansında bir değişiklik yapmaz. Böyle bir populasyonda seleksiyonun etkili olması için farklı bir allelin zuhur etmesi gerekir.

 

       Seleksiyon denilen işlemler neler olabilir? Seleksiyon, gametik veya zigotik (bitkilerde gametofitik veya sporofitik) dönemde uygulanmış olabilir. Genotipler belirli bir yaşa kadar yaşama şansı veya dölleme/döllenme, cinsel olgunluk yaşı ve süresi gibi bazı özellikler bakımından farklı olabilirler. Belirli genleri taşıyan gametlerin canlı kalma ve döl verme güçleri farklı olabilir. Bütün bu seleksiyon işlemlerini tek bir tanım altında toplayacak olursak, bazı genotiplerin diğerlerinden daha fazla döl verme şansına sahip olması, diyebiliriz. Böylece seleksiyonu, genotiplerin “ertesi generasyona, döl generasyonuna katkı” özelliğine ait fenotipik değerleri cinsinden ölçme imkânı bulmuş oluyoruz.

 

Bu seleksiyon, tabiatta, insanın kontrolü altında olmayan bazı faktörler tarafından yapılıyorsa, buna, tabii seleksiyon denilir. Birçok kültür populasyonunda, verim veya renk gibi ekonomik veya estetik üstünlüğü olan fenotiplere, insanoğlu, daha fazla döl verme şansı sağlar ki, buna da sun’i seleksiyon denilir.

Devamını oku...

B Ö L Ü M  V

 

K Ü Ç Ü K     P O P U L A S Y O N L A R

 

 

  V.1- Giriş

 

            Gen frekansını değiştiren evolusyoner amillerden üçü, yani göç, mutasyon ve seleksiyon, sistematik etkili, yani etkisinin miktarı ve istikameti belli, amiller olarak bilinir. Dördüncü amil, şans, dispresif etkili olarak tanımlanır. Yani şansın gen frekansını değiştirici etkisi, öncekilerin aksine, istikamet bakımından tesadüfidir, bazen artırıcı, bazen azaltıcı yöndedir. Dolayısı ile sadece değişme miktarındaki etkisi tahmin edilebilir.

 

            Şansın etkisini yok saymak için önceki bölümlerde hep geniş bir populasyon varsayıldı. Sistematik etkili amiller çalışmadığı sürece, böyle sonsuz genişlikteki populasyonların Hardy-Weinberg dengesinde olduğu görüldü. Sistematik amillerin etkisi de yine böyle sonsuz populasyonlarda çalışılır, sonra şansla birlikte ele alınır. Şansın etkisini dikkate almadan geliştirilen böyle modeller, deterministik model olarak bilinir.

 

            Deterministik modele göre, seleksiyon, göç ve mutasyon olmadığı zaman, gen ve genotip frekansları, büyük populasyonlarda generasyonlar boyunca durağandır. Ancak küçük populasyonlarda bu durağanlık söz konusu değildir. Gen frekansı, küçük populasyonlarda, ertesi generasyonu verecek gametlerin örneklemesinden ileri gelen bir şans etkisi yüzünden, generasyonlar boyunca tesadüfi değişmeler gösterir. Gen frekansındaki bu tesadüfi değişmelere randomdrift (rastgele oynama veya tesadüfi oynama)  denilmektedir. Küçük bir populasyonda gen frekansı takip edilirse görülür ki, gen frekansında generasyondan generasyona her hangi bir kurala uymayan değişmeler vardır. Bu tesadüfi oynamalar sadece şans yüzünden değil, sistematik etkili amillerin etkilerinin sabit olmamasından, her generasyon tesadüfi değişmeler göstermesinden kaynaklanıyor da olabilir ki, bunlar arasında seleksiyon intensitesindeki tesadüfi dalgalanma özellikle önemlidir (Crow ve Kimura, 1970). Şansın etkisini dikkate alan modeller, stokastik model olarak isimlendirilir.

 

            Misal: V.1-p=0.5 olan bir populasyon olsun. Bu populasyonda ertesi generasyonu oluşturacak gametler, eğer sonsuz sayıda değilse, o zaman sonsuz sayıda gametten alınan bir tesadüf örneğidirler. Meselâ 100 gametten 50 tanesi A genini taşısın beklenir ama böyle bir örnekte A genini taşıyan gametlerin  sayısı belirli ihtimallerle 0,1,..,100 olabilir.  Bu ihtimaller, binomiyal bir dağılım gösterir:

A geninin ertesi generasyon tamamen yok olma ihtimali, yani populasyonun tamamen a geninden ibaret olma ihtimali, (0.5)¹⁰⁰, hiç olmazsa bir gamette A geni olma ihtimali ise, . Bu gen frekansı 0.5 değil de daha küçük,  meselâ 0.1 olsaydı, 100 gamette hiç A geni olmama ihtimali,  olacak, buna karşılık hiç olmazsa bir gamette A geni olma ihtimali,  olacaktı. Populasyon daha küçük olsaydı, meselâ 10 gamette hiç A geni olmama ihtimali, (0.9)¹⁰ olacak, hiç olmazsa bir gamette A geni olma ihtimali de 1-(0.9)¹⁰ olacaktı. Yani küçük frekanslı bir genin populasyondan kaybolma ihtimali, populasyon küçüldükçe artmaktadır.

 

            Random drift’in küçük populasyonlarda homozigotluğu artırıcı etkisi önemlidir. Bu etki, bir alt populasyonda bir allel lehine işlerken, diğer bir alt populasyonda ise başka bir allel lehine işler. Böylece alt populasyonlar arasında bir farklılaşma meydana gelir. Random drift’ in bu etkisi, evrim bakımından önemli olduğu gibi, ıslah bakımından da önemlidir.

 

            Şansın homozigotlaşmayı artırıcı etkisi, işte bu yüzden, bir taraftan, gen frekansındaki varyans cinsinden ifade edilir. Şansın etkisinin başka bir ifadesi de, akrabalı yetişmedir. Küçük populasyonlarda homozigotlaşmadaki artış, müşterek atadan gelen genlerin artışıdır. Bu genlere “müşterek cetten dolayı özdeş (Identical by descent)” genler denir. Müşterek cetten dolayı özdeş olan genlerin artmasından ileri gelen homozigotlaşmaya akrabalı yetişme (inbreeding) denir, ölçüsü de akrabalı yetişme katsayısıdır (coefficient of inbreeding).

 

            Şansın etkisi, burada, yine basit bir modele indirgenerek ele alınmaya çalışılacaktır. Bu basit modelde, ideal bir başlangıç populasyonu düşünülür. Bu populasyon, rastgele çiftleşen sonsuz büyüklükte bir populasyon olup, coğrafi ve ekolojik adaptasyon yüzünden veya kültüre alınmış populasyonlarda kontrollü olarak alt gruplara ayrılmıştır. Bu alt gruplara hatlar, bunların ayrıldığı ana populasyona da başlangıç populasyonu veya kaynak populasyon (base, referencepopulation) denilecektir. Herhangi bir generasyonda hatların tamamı beraberce bütün bir populasyonu, her bir hat da, gen frekansının tesadüfi oynamalara maruz kaldığı küçük bir populasyonu ifade edecektir. Hatlar, çiftleşme bakımından birbirinden izole olmuş kabul edilecektir, yani hatlar arasında göç olmadığı varsayılacaktır. Aynı şekilde mutasyon ve seleksiyonun etkisi de daha sonraya bırakılacaktır. Her hattın genişliği de başlangıçta hattan hatta ve generasyondan generasyona değişmiyor kabul edilecektir. Populasyon genişliğinin sabit olmadığı durumlar daha sonra ele alınacaktır. Her hat içinde rastgele çiftleşme söz konusudur, öyle ki rastgele olarak kendine döllenme de mümkündür. Kendine döllenmenin imkânsız olduğu durumlar için de bu model, küçük bir sapma ile geçerli sayılabilir.

 

            Buna göre her bir hat ve generasyonda çiftleşen bireylerin sayısı (populasyon genişliği) N olsun. Belirli bir hatta bir lokustaki belirli bir allelin frekansı p, diğer allellerin toplam frekansı q=1-p olsun. Bunların bütün hatlar üzerinden ortalamaları  ve  olsun. Başlangıç populasyonundaki gen frekansları da p₀ ve q₀ olsun. t. generasyonda bütün hatların ortalama gen frekansı, başlangıçtaki gen frekansına eşittir: .

 

 

            V.2- Örneklemenin (Şansın) Etkisi: Varyans Cinsinden

 

            Daha önce de ifade edildiği gibi, gen frekansına örneklemenin etkisi, istikameti belli olmayan bir etkidir. Ancak değişmenin miktarı, değişmenin varyansı cinsinden tahmin edilebilir.

 

            Başlangıç populasyonundan N bireylik hatların ayrılması, 2N genişliğinde gamet örneklerinin çekilmesi demektir, ki bu, binomiyal bir dağılımdan çekilmiş 2N genişliğinde basit tesadüf örnekleri demektir. 2N gametten r tanesinde A geni bulunma ihtimali, binomiyal ihtimal fonksiyonundan,  olacaktır. Buna göre, r’nin beklenen değeri,

                        

ve varyansı,

                        

olur. Herhangi bir hatta A geninin frekansı p=r/2N olduğundan, p’nin beklenen değeri ve varyansı, sıra ile

(V.1)               

(V.2)               

 

olarak bulunur. Yani başlangıç generasyonundan sonraki ilk generasyonda herhangi bir hatta A geninin frekansı p₁, beklenen değeri p₀ etrafında p₀q₀ /2N varyansı ile ifade edilen bir varyasyon gösterir. Yani hatlar arasında, gen frekansına ait varyans, (V.2) ile gösterilen kadardır. Bir generasyonda meydana gelen değişmenin varyansı da, p₁-p₀ ifadesindeki p₀ sabit olduğundan yine (V.2)’ye eşittir:

(V.2a)             

Gelecek generasyonda örnekleme işlemi aynı şekilde tekrarlanır, fakat bu defa her hat farklı bir p₁ frekansı ile başladığı için, ikinci generasyonda örnekleme, hatlar arasında daha ileri bir varyasyona yol açar. Bu şekilde sürekli devam eden örnekleme, generasyonlar ilerledikçe, her hattın gen frekansında kural dışı oynamalara ve hatların birbirlerinden tedrici olarak ve belirsiz istikametlerde farklılaşmasına sebep olur ( Falconer,1981).

 

             Modeli bir adım daha ileri götürüyoruz. t. generasyonda herhangi bir hattın gen frekansı p_t olsun. Ertesi generasyondaki N dölü verecek 2N gametten A genine sahip olanların sayısı r, binomiyal bir dağılım gösterir. t+1. generasyonda gen frekansı p_t+1’in beklenen değeri, kolayca gösterilebilir ki,

(V.3)               

ve varyansı

(V.4)               

Bu varyansın ilk terimi ikinci moment olup,

            

şeklinde bulunur. Çeşitli dağılımların momentleri, moment çıkaran fonksiyon yardımı ile bulunur. İkinci moment, moment çıkaran fonksiyonun ikinci türevinin, moment değişkeninin sıfır için değerine eşittir. Buna göre, r’nin karesinin beklenen değeri,

            

olup buradan da

(V.5)   

olur. Binomiyal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu ek:V.1’de anlatılmıştır. Buradan beklenen değerler Ek: V.2’de gösterildiği şekilde aşağıdaki gibi bulunur:

(V.9a)             

(V.9b)           

Bunları eş.(V.4)’de yerine koyarak

(V.10)  

bulunur. Bu, t. generasyonda, hatlar arasında gen frekansı bakımından varyasyonu gösterir. Enteresan bir sonuç,  olduğunda  olmasıdır. Başlangıç populasyonundan tek gametlik örnekler çekilseydi bunların A geni bakımından frekansı, p₀q₀ olacaktı. Demek ki, sonsuz generasyon sonra her hat başlangıçtaki tek bir gametten meydana gelmiş olacak, her hat bir çeşit gamet verecektir. Yani her hat ya bütün lokuslarda A genine sahip, ya da hiçbir lokusta A genine sahip değildir ki bu hatlar içi varyasyon sıfır anlamına gelir.

 

            Sonuç olarak, diğer evolusyoner amillerin çalışmaması halinde şansın etkisinin, hatlar arası farklılaşmayı artırmak, hatlar içi varyasyonu ise azaltmak, yani hat içinde homozigotlaşmayı, ama bir istikamette artırmak olduğu ortaya çıkmaktadır. Sonsuz generasyon sonra, dikkat edilirse, A geni bakımından homozigotlaşan hatların oranı p₀’a, yani A geninin başlangıçtaki frekansına eşittir.

 

            Genotip frekanslarına bütün hatlar üzerinden bakıldığında, heterozigotlarda azalma eş.(V.4)’den çıkarılabilir. t. generasyonda A geninin frekansı p_t olan bir hatta AA genotipinin frekansı p_t² dir. O halde AA genotipinin bütün hatlar üzerinden beklenen frekansı E(p_t²) olup, eş.(V.4)den,

(V.11a)           

olarak bulunur. Öte yandan aa genotipli bireylerin beklenen frekansı da, A ve a geni bakımından gen frekansı varyansı eşit olduğundan kolayca,

(V.11b)           

yazılabilir. Bir hat içinde heterozigot genotipin beklenen frekansı, yani hatlar üzerinden ortalama heterozigot frekansı, eş.(V.11a) ve eş.(11b) yardımı ile, ve,

                        

olduğundan,

(V.11c)           

bulunur. Görülüyor ki, heterozigot genotipin beklenen frekansında başlangıç frekansına nazaran gen frekansındaki varyansın 2 katı kadar bir azalma vardır.

            Bu ortalama (beklenen) genotip frekansları artık Hardy-Weinberg dengesinde değildir. Öte yandan her hat içinde tesadüfü sapmalar dışında, H.W. dengesinden söz edilebilir. Ancak gen ve genotip frekansları bütün hatların ortalaması (beklenen değeri) olarak alındığında, artık bu gen ve genotip frekansları arasında H.W. dengesinden bahsedilemez.  ve  olduğundan veya  ve  olduğundan gen ve genotip frekansları arasında H.W. dengesinin tipik ifadesi olan eşitlikler artık yoktur:

 

      IV.3- Çalışma Problemleri

               1- Küçük populasyonlarda sadece örneklemenin etkisi ile populasyonunda genetik yapısında nasıl değişiklikler beklenir? Etraflıca açıklayınız.

               2- Başlangıçta A geninin frekansı 0.40'tır. Bu populasyonda 20 ve 50 genişlikteki küçük populasyonlarda A geninin frekansının varyansı, sonraki üç generasyonda kaç olsun beklenir? (Eşitlik  V.10 ile çözebilirsiniz)

               3- Bir önceki sorudaki küçük populasyonlarda üç generasyon boyunca AA, Aa ve aa genotiplerinin beklenen frekansı 50 ve 20 bireylik örneklerde kaç olur? (Eşitlik V.11a,b ve c ile çözünüz)

 

 

Ek: V.1- Binomiyal Dağılımın Beklenen Değer, Varyans ve Momentleri

            Bir Bernoulli tesadüf değişkeninin beklenen değeri, tanım gereği,

                      

Y gibi binomiyal bir tesadüf değişkeninin beklenen değeri ise, Y=X₁+X₂  +…+X_n şeklinde n tane bağımsız ve özdeş Bernoulli tesadüf değişkeninin toplamı olduğundan,

 (V.12)          

Bir X Bernoulli tesadüf değişkeninin varyansı, yine tanım gereği,

  .

Binomiyal bir tesadüf değişkeni, n tane bağımsız ve özdeş Bernoulli tesadüf değişkeninin toplamı olduğundan varyansı,

 

(V.13)             Var(Y)=Var(X₁)+Var(X₂)+…+Var(X_n)= n*Var(X)=n*p*(1-p)

           

            Binomiyal dağılımın daha yüksek dereceden momentleri için, moment çıkaran fonksiyondan yararlanılır:

(V.14)                        

 

Bu fonksiyonun türevi

 

Φ_y^’ (t) = n (pe^t+(1-p))^n-1pe^t

Birinci moment, tanım gereği bu türevin t=0 için alacağı değerdir:

 

E(Y) = Φ_y^’ (0)= np

 

İkinci dereceden türev

Φ_y^’’ (t)= n (n-1)(pe^t+(1-p))^n-2 (pe^t)²+n(pe^t+1-p)^n-1pe^t

 

İkinci moment bu durumda t=0 için

E[Y²] = Φ_y^’’ (0) = n(n-1)p² + np

 

Y’nin varyansı

Var(Y) = E[Y²] − (E[Y])² = n(n − 1)p² + np – (np)² = np-np² = np(1-p)

 

 

Ek: V.2- E(p_t) ve E(p_t²) Beklenen Değerlerinin Bulunması:

t+1.generasyonda gen frekansının varyansını, başlangıç generasyonu parametreleri cinsinden ifade edebilmek için, geçiş matrisi yardımı ile,

eşitlik sisteminin çözümünden bulmak mümkündür. Geçiş matrisini T, beklenen değerlerin vektörünü P_t ile göstererek

(V.6)              

yazılabileceği açıktır. Bu sistemin çözümü, T matrisini eigen değerlerden oluşan diagonal D matrisi ve bu eigen değerlere karşılık gelen eigen vektörlerin A matrisi şeklinde unsurlarına bölerek bulunur: T=ADA^-1. D, diagonal matris olduğundan t. generasyonda,

(V.7)              

olur. T matrisinin eigen değerleri,  determinantının çözümünden bulunur (Burada I birim matristir):

matrisinin determinantını sıfıra eşitleyerek

ve buradan  ve bulunur.  için eigen vektör  matrisinde yerine koyarak,

 ve

 

 ve buradan  alınır. Burada 0 değeri keyfi olarak seçilmiştir. Çünkü görüldüğü gibi, bu eigen vektörün sonsuz çözümü vardır.  için eigen vektör, benzer şekilde,

 ve

 

 ve  (her değer) eşitliklerinin çözümü  ve keyfi olarak

bulunur. Bu eigen vektörleri A matrisinde, eigen değerler de D matrisinde yerine konarak (V.7) numaralı eşitlik,

bulunur. Bunu eş.(V.6)’da yerine koyarak,

 

(V.8)              

bulunur.